Rumus Matematis Pengalantaka Penentuan Sasih

Sistem penanggalan Bali merepresentasikan salah satu pencapaian intelektual paling canggih dalam sejarah etno-astronomi Nusantara, yang menggabungkan observasi fenomena langit (makrokosmos) dengan siklus ritme kehidupan manusia (mikrokosmos) dalam sebuah kerangka kerja matematis yang presisi. Berbeda dengan kalender Gregorian yang murni berbasis matahari (solar) atau kalender Hijriah yang murni berbasis bulan (lunar), Kalender Saka Bali beroperasi sebagai sistem hibrida lunisolar yang diperkaya dengan lapisan aritmatika siklik yang independen. Kompleksitas ini bukan sekadar ornamen budaya, melainkan kebutuhan fundamental untuk menentukan “Dewasa Ayu” (hari baik) yang mengatur segala aspek kehidupan masyarakat Bali, mulai dari aktivitas agraris hingga ritual penyucian diri yang sakral.

Analisis mendalam terhadap struktur kalender ini mengungkapkan bahwa masyarakat Bali tidak hanya menggunakan satu garis waktu linear, melainkan hidup dalam persimpangan dua sistem waktu yang berjalan secara simultan dan saling berinteraksi. Sistem pertama adalah Saka, yang diadopsi dari sistem kalender India kuno dan dimulai pada tahun 78 Masehi, yang berfungsi sebagai penanda waktu berbasis astronomi untuk menentukan pergantian tahun dan hari raya besar seperti Nyepi. Sistem kedua adalah Pawukon, sebuah siklus aritmatika murni berdurasi 210 hari yang tidak memiliki korelasi langsung dengan posisi benda langit, namun sangat menentukan ritme upacara di tingkat pura dan rumah tangga.2 Tantangan terbesar dalam memodelkan sistem ini secara komputasional terletak pada algoritma penyelarasan atau sinkronisasi antara kedua sistem tersebut, sebuah mekanisme koreksi waktu yang dikenal sebagai Pengalantaka.

Tanpa pemahaman nuansa matematis di balik Pengalantaka dan aturan penentuan Sasih (bulan lunar), upaya digitalisasi kalender Bali sering kali gagal menangkap esensi akurasi ritualnya. Laporan ini akan membedah secara mendetail rumus algoritma perhitungan Sasih, logika di balik interkalasi bulan kabisat (Nampih Sasih), serta formulasi sistem Pengalantaka Eka Sungsang Ka Paing yang menjadi standar perhitungan saat ini. Tujuannya adalah menyediakan referensi teknis yang ekhaustif bagi pengembangan mesin kalender digital yang valid secara astronomis maupun teologis.

Struktur Matematis Sistem Pawukon dan Wewaran

Sebelum melangkah ke kompleksitas algoritma lunisolar Sasih, fondasi perhitungan waktu Bali harus dibangun di atas pemahaman sistem Pawukon. Sistem ini merupakan tulang punggung aritmatika yang berjalan paralel dengan siklus bulan. Dalam perspektif ilmu komputer dan matematika diskrit, Pawukon dapat dipandang sebagai sistem bilangan modular yang kompleks.

Aritmatika Modular Wewaran

Siklus Pawukon terdiri dari 210 hari, yang merupakan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari berbagai siklus mingguan yang disebut Wewaran. Wewaran berkisar dari siklus satu hari (Ekawara) hingga sepuluh hari (Dasawara). Setiap hari dalam kalender Bali memiliki atribut unik yang merupakan kombinasi dari posisi hari tersebut dalam setiap siklus Wewaran.

Secara algoritmik, penentuan Wewaran untuk tanggal tertentu bergantung pada perhitungan selisih hari dari sebuah epoch (titik awal) yang diketahui, kemudian menerapkan operasi modulus.

Formulasi Algoritma Wewaran:

Jika $D$ adalah jumlah hari yang telah berlalu sejak epoch (misalnya, 1 Januari 1970 atau awal tahun Saka), dan $N$ adalah periode Wewaran (misalnya 5 untuk Pancawara, 7 untuk Saptawara), maka indeks hari $I$ dapat dihitung dengan rumus:

Di mana $C$ adalah konstanta koreksi yang menyesuaikan posisi hari pada epoch tersebut.

Data penelitian menunjukkan bahwa kombinasi yang paling sering digunakan adalah Saptawara (7 hari) dan Pancawara (5 hari). Interseksi keduanya menghasilkan siklus 35 hari yang disebut Weton atau Oton dalam tradisi Jawa-Bali.

• Saptawara: Redite (Minggu), Soma (Senin), Anggara (Selasa), Buda (Rabu), Wraspati (Kamis), Sukra (Jumat), Saniscara (Sabtu).
• Pancawara: Umanis, Paing, Pon, Wage, Kliwon.

Implementasi kode untuk algoritma ini sering kali menggunakan Julian Day Number (JDN) sebagai basis perhitungan karena sifatnya yang kontinu, menghindari kerumitan jumlah hari per bulan dalam kalender Gregorian.

Siklus Wuku (30 Minggu)

Komponen kedua dari Pawukon adalah siklus 30 minggu yang disebut Wuku. Setiap Wuku memiliki nama spesifik mulai dari Sinta, Landep, Ukir, hingga Watugunung. Durasi total siklus ini adalah $30 \times 7 = 210$ hari.

Dalam konteks algoritma Pengalantaka, posisi Wuku sangat krusial karena aturan koreksi waktu (pengurangan hari atau Ngunalatri) sering kali dipicu oleh Wuku tertentu. Rumus untuk menentukan indeks Wuku ($W_{idx}$) dari sebuah tanggal adalah:

Di mana $JDN_{ref}$ adalah Julian Day Number dari hari Minggu pada Wuku Sinta di masa lalu. Daftar urutan Wuku adalah konstanta yang mutlak dalam sistem ini:

Sistem Pawukon ini memberikan kerangka fixed (tetap) yang kemudian akan diselaraskan dengan sistem floating (berubah) dari kalender lunar Saka melalui algoritma Pengalantaka.

Algoritma Inti Penghitungan Sasih (Sistem Lunisolar)

Permintaan utama penelitian ini adalah menjabarkan “Rumus Algoritma untuk Penghitungan Sasih”. Sasih adalah bulan lunar dalam kalender Bali yang diberi nama berdasarkan urutan angka Sanskerta (Kasa=1, Karo=2, dst.). Tantangan utama dalam menghitung Sasih adalah variabilitas panjang bulan sinodis (rata-rata 29,53 hari) dan perlunya sinkronisasi dengan tahun matahari (365,24 hari).

Mekanisme Penetapan Awal Sasih

Sebuah Sasih baru dalam kalender Bali secara astronomis dimulai tepat setelah momen konjungsi bulan dan matahari (Tilem). Hari pertama setelah Tilem disebut Penanggal 1 (Tanggal 1 paruh terang). Sasih berlangsung selama 29 atau 30 hari hingga Tilem berikutnya.

Untuk menghitung Sasih secara algoritmik, langkah-langkah berikut diterapkan dalam banyak pustaka komputasi modern 6:

1. Konversi Tanggal Target ke Julian Day: Langkah pertama adalah mengubah tanggal Gregorian input menjadi angka Julian Day (JD) untuk memudahkan operasi aritmatika. Rumus standar astronomi (seperti Jean Meeus) digunakan di sini:  

   $$JD = 367Y – \lfloor\frac{7(Y + \lfloor\frac{M+9}{12}\rfloor)}{4}\rfloor – \lfloor\frac{3(\lfloor\frac{Y + \lfloor\frac{M-9}{7}\rfloor}{100}\rfloor + 1)}{4}\rfloor + \lfloor\frac{275M}{9}\rfloor + D + 1721013.5$$

2. Hitung Posisi Bulan (Moon Phase): Diperlukan algoritma astronomi untuk mencari kapan terjadinya New Moon (Tilem) terakhir sebelum tanggal target. Ini melibatkan perhitungan lunar elongation. Jika elongasi matahari dan bulan adalah 0 derajat, itu adalah titik Tilem.
3. Tentukan Penanggal/Panglong:
   • Hitung selisih hari ($d$) antara tanggal target dan tanggal Tilem terakhir.
   • Jika $d \le 15$, maka hari tersebut adalah Penanggal $d$ (Fase Waxing).
   • Jika $d > 15$, maka hari tersebut adalah Panglong $(d – 15)$ (Fase Waning). Pada fase ini, perhitungan didasarkan pada jarak dari Purnama.

Algoritma Penentuan Nama Sasih (Logika Nampih)

Bagian paling kompleks adalah menentukan apakah bulan ini adalah Sasih Kasa, Karo, atau lainnya, serta menangani bulan kabisat (Leap Month). Kalender Saka Bali menggunakan sistem Nampih Sasih untuk menjaga agar tahun baru Saka (Nyepi) tetap jatuh di sekitar Ekuinoks Maret.

Aturan Logika (Heuristik) Sasih : 

1. Jangkar Nyepi : Hari Raya Nyepi ditetapkan sebagai Tanggal 1 Sasih Kasa. Nyepi harus jatuh pada Penanggal 1 yang terdekat dengan Ekuinoks Musim Semi (Maret). Secara tradisional, ini sering diartikan bahwa Tilem Kesanga (bulan mati ke-9 yang mendahului Nyepi) harus terjadi pada bulan Maret.
2. Pendeteksian Pergeseran : Karena tahun lunar (354 hari) lebih pendek ~11 hari dari tahun solar (365 hari), setiap 2-3 tahun sekali, awal Sasih Kasa akan maju terlalu jauh ke Januari/Februari.
3. Koreksi Nampih (Interkalasi) : Jika perhitungan menunjukkan bahwa Tilem Kapitu (bulan mati ke-7) akan jatuh pada bulan Desember Gregorian, atau jika Nyepi akan jatuh terlalu dini, maka disisipkan bulan tambahan. Bulan yang disisipkan biasanya adalah Jyestha (bulan ke-11) atau Sadha (bulan ke-12).
   • Bulan sisipan pertama disebut Sasih Mala (misal: Mala Jyestha).
   • Bulan kedua (yang asli) disebut Sasih Nampih (misal: Jyestha).

Pseudocode Algoritma Penentuan Sasih :

function hitungSasih(tahunSaka, bulanGregorian, tanggalGregorian) {
    // 1. Tentukan Awal Tahun Saka (Nyepi) untuk tahun tersebut
    let tanggalNyepi = getNyepiDate(tahunSaka);
    
    // 2. Hitung jarak hari dari Nyepi ke tanggal target
    let selisihHari = hitungSelisihHari(tanggalNyepi, tanggalGregorian);
    
    // 3. Estimasi jumlah bulan berlalu (rata-rata 29.53 hari)
    let bulanBerlalu = Math.floor(selisihHari / 29.53059);
    
    // 4. Cek aturan Nampih Sasih (Kabisat)
    let isTahunKabisat = cekNampihSasih(tahunSaka); // Menggunakan tabel lookup atau algoritma Metonik
    
    let urutanSasih = (bulanBerlalu % 12);
    let namaSasih =;
    
    // 5. Penyesuaian jika ada bulan ganda
    if (isTahunKabisat) {
        // Logika kompleks untuk menyisipkan 'Mala'
        // Jika bulan interkalasi adalah Jyestha (idx 10)
        if (bulanBerlalu == 10) return "Mala Jyestha";
        if (bulanBerlalu == 11) return "Jyestha"; // Geser indeks
        // dst...
    }
    
    return namaSasih;
}

Referensi riset menunjukkan bahwa algoritma Nampih Sasih ini seringkali ditentukan melalui Paruman (rapat) pendeta berdasarkan diagram wariga, namun secara matematis bertujuan menjaga sinkronisasi solar.

Matematika Pengalantaka : Sistem Eka Sungsang Ka Paing

Di atas lapisan perhitungan Sasih, terdapat lapisan koreksi mikro yang disebut Pengalantaka. Ini adalah algoritma unik Bali yang tidak ditemukan dalam kalender Saka India asli. Tujuannya adalah menyinkronkan Tithi (hari lunar yang panjangnya bervariasi) dengan hari solar standar, serta menyelaraskan siklus Pawukon dengan siklus Sasih.

Sistem yang berlaku saat ini (periode 1979–2079 M) adalah Pengalantaka Eka Sungsang Ka Paing.

Logika Ngunalatri (Pengurangan Hari)

Secara astronomis, 1 Tithi = 12 derajat pergerakan bulan dari matahari. Waktu rata-ratanya adalah 0,98 dari hari solar. Akibatnya, ada momen di mana satu hari solar mencakup sebagian besar dari dua tithi, atau tithi tertentu “hilang” dari hitungan kalender sipil agar tetap sinkron. Fenomena penghilangan hari ini disebut Ngunalatri (Sanskerta: Una = kurang, Ratri = malam).

Sistem Eka Sungsang menetapkan aturan deterministik kapan Ngunalatri terjadi, yaitu setiap 63 hari (9 Wuku). Angka 63 dipilih karena merupakan pendekatan aritmatika yang baik untuk mengakumulasi selisih fraksi hari lunar dan solar.

Tabel Lookup Wuku dan Sloka

Algoritma ini bekerja dengan memadukan dua set data: 10 Wuku Pengunalatri dan 15 Sloka Aturan.

10 Wuku Pengunalatri (Pemicu Koreksi):

Koreksi hanya boleh terjadi pada minggu-minggu (Wuku) berikut:

1. Eka Sungsang
2. Dwi Tambir
3. Tri Klau
4. Catur Wariga
5. Panca Pahang
6. Sad Bala
7. Sapta Kulantir
8. Asta Langkir
9. Nawa Uye
10. Dasa Sinta

15 Sloka (Aturan Penggabungan Tanggal) :

Sloka menentukan tanggal berapa yang dihapus atau digabung pada Wuku tersebut.

• Pancadasi (14/15): Tanggal 14 dan 15 digabung. Di kalender tertulis 14, besoknya langsung tanggal 1 Sasih baru. Bulan ini berumur 29 hari (Tilmpet).
• Dwidasi (11/12): Tanggal 11 dan 12 digabung.
• Asthami (7/8): Tanggal 7 dan 8 digabung.
• Caturti (3/4): Tanggal 3 dan 4 digabung.
• Praptipada (15/1): Tilem (15) digabung dengan Penanggal 1.

Algoritma Rotasi :

Kombinasi 10 Wuku dan 15 Sloka menghasilkan siklus besar.

Total Siklus = $KPK(10, 15) \times \text{Periode Dasar}$.

Namun, dalam praktiknya, urutan Sloka diterapkan secara berurutan pada Wuku Pengunalatri yang muncul setiap 9 minggu.

Siklus pengulangan penuh disebut Nemugelang yang berdurasi:

Setelah 1.890 hari, pola Ngunalatri akan berulang kembali dari awal.

Rumus Penentuan Tanggal Tilem dengan Pengalantaka

Dalam pembuatan engine kalender, kita tidak bisa hanya mengandalkan fase bulan astronomis. Kita harus menerapkan “Filter Pengalantaka”.

Langkah Implementasi:

1. Hitung tanggal Tilem Astronomis ($T_{astro}$).
2. Cek Wuku pada tanggal $T_{astro}$. Apakah termasuk dalam daftar 10 Wuku Pengunalatri?
3. Jika YA, cek urutan Sloka yang aktif untuk tahun/siklus tersebut.
4. Jika Sloka aktif adalah Pancadasi, maka tetapkan bulan tersebut berumur 29 hari. Tanggal Tilem dimajukan atau digabung, sehingga Sasih berikutnya dimulai lebih cepat satu hari dari prediksi astronomis murni.
5. Jika TIDAK, bulan tersebut berjalan normal 30 hari (kecuali ada koreksi astronomis lain).

Keakuratan implementasi rumus ini diverifikasi dengan membandingkan hasil algoritma dengan diagram Eka Sungsang Ka Paing yang dirilis oleh penguasa adat.

Sistem Kalender Tenganan Pegringsingan

Sebuah laporan komprehensif tidak lengkap tanpa membahas variasi anomali yang signifikan. Desa Adat Tenganan Pegringsingan di Karangasem menggunakan sistem kalender yang berbeda dari sistem Saka Bali umum, yang disebut Sasih Catur.

Perbedaan Algoritma Sasih

Berbeda dengan algoritma Saka Bali yang menggunakan Nampih Sasih (bulan kabisat) untuk menjaga sinkronisasi dengan musim, Kalender Tenganan cenderung membiarkan perhitungan bulannya “berjalan” (sliding) atau menggunakan siklus koreksi yang berbeda.

• Sasih Kasa Tenganan : Seringkali tidak bersamaan dengan Sasih Kasa Bali umum. Nyepi Desa Adat Tenganan memiliki tanggal sendiri, yang bisa berbeda bulan dengan Nyepi nasional.
• Durasi Bulan: Beberapa sumber menyebutkan Tenganan menggunakan perhitungan matahari yang lebih dominan atau siklus hari tetap (mirip Pranatamangsa di Jawa namun berbeda struktur), yang menyebabkan pergeseran akumulatif terhadap fase bulan aktual.

Implikasi Ritual

Akibat perbedaan algoritma ini, upacara Usaba Sambah (perang pandan) di Tenganan ditentukan oleh kalender lokal mereka (biasanya Sasih Kalima Tenganan). Algoritma komputer yang dirancang untuk Kalender Bali umum (Saka-Sungsang) akan gagal memprediksi hari raya di Tenganan. Oleh karena itu, modul komputasi terpisah atau parameterisasi khusus diperlukan untuk menangani pengecualian “Sistem Tenganan” dalam aplikasi kalender digital.

Implementasi Komputasional dan Kode

Menerjemahkan aturan-aturan kuno ini ke dalam kode pemrograman modern (seperti Java, Python, atau JavaScript) memerlukan penanganan struktur data yang hati-hati. Berikut adalah kerangka kerja teknis untuk implementasi algoritma tersebut.

Penanganan Epoch (Titik Referensi)

Dalam computer science, waktu biasanya dihitung sebagai detik sejak “Unix Epoch” (1 Januari 1970). Namun, untuk Kalender Saka, kita harus memperhitungkan Saka Epoch (78 Masehi).

• Tahun Saka = Tahun Gregorian – 78 (jika tanggal setelah Nyepi).
• Tahun Saka = Tahun Gregorian – 79 (jika tanggal sebelum Nyepi).

Pustaka balinese-date-js-lib menangani ini dengan mendeteksi posisi tanggal relatif terhadap Nyepi tahun berjalan.

Contoh Implementasi Logika Sasih (TypeScript/JS)

Berdasarkan analisis snippets 8, berikut adalah representasi logika untuk menentukan atribut Sasih:

// Representasi Algoritma Penentuan Sasih
class BalineseDate {
    constructor(date: Date) {
        this.gregorianDate = date;
        this.julianDay = this.calculateJulianDay(date);
        this.calculatePawukon();
        this.calculateSaka();
    }

    calculateSaka() {
        // 1. Cari Tahun Saka Kasar
        let sakaYear = this.gregorianDate.getFullYear() - 79;
        
        // 2. Cari Tanggal Nyepi untuk Tahun Saka tersebut
        // Memerlukan fungsi kompleks getNyepi(sakaYear) yang berisi database/algoritma Tilem Kesanga
        let nyepiDate = getNyepi(sakaYear); 

        // 3. Jika tanggal input >= Nyepi, maka Tahun Saka bertambah 1
        if (this.gregorianDate >= nyepiDate) {
            sakaYear += 1;
        }
        
        // 4. Hitung Sasih
        // Hitung berapa bulan baru (Tilem) telah berlalu sejak Nyepi
        let tilemsPassed = countTilemsBetween(nyepiDate, this.gregorianDate);
        
        // Handle Nampih Sasih (Leap Month)
        // Jika tahun ini memiliki bulan kabisat (misal Sasih Jyestha ganda)
        // Maka urutan sasih bergeser
        let sasihIndex = tilemsPassed;
        if (isLeapSakaYear(sakaYear) && tilemsPassed >= getLeapMonthIndex(sakaYear)) {
             // Logika penamaan 'Mala' vs 'Nampih'
             //...
        }

        this.saka = sakaYear;
        this.sasih = SASIH_NAMES[sasihIndex % 12];
    }
}

Tantangan Presisi Floating Point

Dalam menghitung posisi bulan ($L_{moon}$) untuk menentukan Tilem, penggunaan tipe data float standar bisa menimbulkan rounding error. Algoritma Jean Meeus yang presisi tinggi (memperhitungkan perturbasi orbit bulan) sangat disarankan. Selisih hitungan menit dalam waktu konjungsi bisa menggeser hari Tilem dari satu hari ke hari berikutnya, yang berakibat fatal pada penetapan tanggal 1 Sasih.

Analisis komprehensif ini menegaskan bahwa Kalender Saka Bali bukan sekadar alat penunjuk waktu, melainkan sistem manajemen waktu yang mengintegrasikan teologi dan astronomi melalui algoritma Pengalantaka.

1. Validitas Algoritma: Rumus perhitungan Sasih harus selalu memperhitungkan dua variabel koreksi: Nampih Sasih (koreksi solar tahunan) dan Ngunalatri (koreksi lunar harian melalui sistem Eka Sungsang). Pengabaian salah satu elemen akan menghasilkan kalender yang cacat.
2. Urgensi Presisi: Dalam era digital, ketergantungan pada aplikasi kalender meningkat. Kesalahan kode dalam menentukan Wuku Pengunalatri atau Sloka dapat menyebabkan umat Hindu Bali melaksanakan upacara pada hari yang salah secara teologis (Dewasa Ala).
3. Fleksibilitas Sistem: Sistem seperti di Tenganan menunjukkan bahwa “Sasih” bukanlah konsep tunggal yang monolitik. Algoritma universal untuk Bali harus bersifat polimorfik, mampu menangani aturan lokal (Dresta Desa) yang berbeda dari aturan umum (Dresta Bali).

Sebagai rekomendasi akhir bagi para pengembang sistem dan peneliti, digitalisasi Kalender Bali tidak boleh berhenti pada konversi tanggal murni. Ia harus mencakup simulasi logika Wariga yang memperhitungkan keputusan Paruman (konsensus adat), karena pada akhirnya, kebenaran waktu di Bali adalah perpaduan antara kebenaran astronomis dan kebenaran sosiologis-religius.